常见导数公式

1. 基本初等函数求导公式

常数与幂函数

• 常数函数：$(C)' = 0$
• 幂函数：$(x^n)' = n x^{n-1}$ （特别地：$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$，$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$）

指数与对数函数

• 自然指数：$(e^x)' = e^x$
• 一般指数：$(a^x)' = a^x \ln a$ $(a > 0, a \neq 1)$
• 自然对数：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• 一般对数：$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ $(a > 0, a \neq 1)$

三角函数

• 正弦：$(\sin x)' = \cos x$
• 余弦：$(\cos x)' = -\sin x$
• 正切：$(\tan x)' = \sec^2 x$
• 余切：$(\cot x)' = -\csc^2 x$
• 正割：$(\sec x)' = \sec x \tan x$
• 余割：$(\csc x)' = -\csc x \cot x$

反三角函数

• 反正弦：$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• 反余弦：$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• 反正切：$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
• 反余切：$(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$

2. 导数的运算法则

设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 均为可导函数：